Nicht-euklidische Geometrie – oder der Pluralismus der Geometrien

In der Geometrie Euklids, hatte das 5. Postulat, das auch Parallelenaxiom genannt wird, von Anfang an eine Sonderstellung. Denn es sticht aus den übrigen Axiomen Euklids aufgrund seiner Komplexität heraus.

Hier der Wortlaut des Parallelenaxioms:

Hat man zwei Geraden, a und b, die von einer dritten Geraden c so geschnitten werden, dass die auf einer Seite liegenden zwei Winkel a und b zusammen kleiner als 180° sind, dann schneiden sich die Geraden a und b auf der Seite, auf der diese Winkel liegen.

Daneben gibt es noch ein paar alternative, aber äquivalente Formulierungen dieses Axioms. Bereits in der Antike vermutete man, dass es aus den anderen Axiomen herleitbar sein müsste. Bis ins frühe 19. Jahrhundert versuchten Mathematiker das Parallelenaxiom zu beweisen, immerhin erscheint seine Gültigkeit als durchaus einleuchtend. Manchmal hielt man einen dieser Beweisversuche für richtig, allerdings wurde jedes Mal ein Fehler gefunden. Die Mathematikhistorikerin F.M. Brückler schreibt[1]:

„Typischerweise […] bestand der Fehler darin, dass eine Eigenschaft als ‚offensichtlich gültig‘ genommen wurde, die eigentlich dem Parallelenpostulat äquivalent ist […].“

Ein Problem war also dieses „offensichtlich gültig“.  Deswegen begann sich etwa um die Zeit, als Kants Kritik der reinen Vernunft erschien, ein neues Denken in der Mathematik anzubahnen. 1786 veröffentlichte J. H. Lambert einen geometrischen Artikel über die Theorie der Parallelen. Darin äußerte er wegweisende Gedanken: Man müsse zu einem höheren Abstraktionsniveau gelangen, weg von der geometrischen Anschauung. Beweise sollten nur noch rein formal-symbolisch sein[2].

Auch der bedeutende Mathematiker J.K.F. Gauß (1777-1855) beschäftigte sich über viele Jahre hinweg mit dem Parallelenaxiom. Im Jahre 1799 äußerte er in einem Brief an den befreundeten ungarischen Mathematiker Farkas Bolyai (1775-1856) Zweifel, ob es überhaupt beweisbar ist[3]. In einem Brief von 1817 schreibt Gauß[4]:

„Ich komme immer mehr zu der Überzeugung, dass die Notwendigkeit unserer Geometrie nicht bewiesen werden kann, wenigstens nicht vom menschlichen Verstande noch für den menschlichen Verstand. Vielleicht kommen wir in einem andern Leben zu andern Einsichten in das Wesen des Raums, die uns jetzt unerreichbar sind. Bis dahin müsste man die Geometrie nicht mit der Arithmetik, die rein a priori steht, sondern etwa mit der Mechanik in gleichen Rang setzen […]“

Gauß begann darüber nachzudenken, wie eine alternative Geometrie aussehen könnte, in der das Parallelenaxiom nicht gelten würde. Das erinnert an Cardanos spielerische Einführung der imaginären Zahl. Man nimmt einfach einmal etwas an und sieht zu, was dabei herauskommt. Um diesen Schritt zu gehen, musste Gauß zwischen der Geometrie des erfahrbaren, physikalischen Raumes auf der einen Seite und einer möglicherweise davon verschiedenen mathematischen Geometrie auf der anderen Seite unterscheiden.  Damals ein sehr kühner Gedanke, der zudem der Philosophie Kants widerspricht. Deswegen zögerte er, seine Überlegungen zu einer nicht-anschaulichen, nicht-euklidischen Geometrie zu veröffentlichen.

Bolyai und Lobatschewski

Im Jahre 1829 schrieb der russische Mathematik N.I. Lobatschewski (1792-1856) eine Abhandlung über eine Geometrie, in der das Parallelenaxiom nicht gilt. Kurz danach, im Jahre 1832, veröffentlichte auch Janos Bolyai (1802-1860), der Sohn des oben erwähnten Mathematikers Farkas Bolyai, seine Gedanken über nicht-euklidische Geometrien. Beide Arbeiten blieben allerdings lange unbeachtet.

Nicht-euklidische Geometrien wurden damals als vermeintlich unseriöse mathematische Theorien verschmäht. Zu sehr widersprachen sie der herkömmlichen Anschauung, zu sehr schienen sie der empirischen Realität zu widersprechen. Viele Mathematiker empfanden sie als „puren Unsinn“. Erst mit Riemanns Habilitationsvortrag von 1854 wurde die nicht-euklidische Geometrie salonfähig.

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866) war ein herausragender Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er beschäftigte sich mit Geometrie, entwickelte viele Bereiche der Analysis bahnbrechend weiter und war einer der Mitbegründer der analytischen Zahlentheorie.  Im Wintersemester 1847/48 hörte er Jacobis Vorlesung über analytische Mechanik, zu der wir später noch kommen werden. Sowohl für die Mathematik, als auch die Physik und Philosophie wichtig ist sein Habilitationsvortrag, den er 1854 in Göttingen gehalten hat:

• Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Gehalten 1854 in Göttingen; veröffentlicht 1868; in: Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, herausgegeben von Weber, Dedekind, Teubner Verlag, 1892. Auch abgedruckt in Jost, J. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen – historisch und mathematisch kommentiert. Springer Spektrum, 2013.

Wie gesagt waren Lobatschewski (1829) und Bolyai (1832) die ersten, die es wagten, über nicht-euklidische Geometrien zu veröffentlichen. Ihr Grundgedanke war, alle herkömmlichen Axiome der euklidischen Geometrie beizubehalten, nur das Parallelenaxiom nicht, und dann die Konsequenzen daraus zu studieren. Beispielsweise ist in derartigen nicht-euklidischen Geometrien die Winkelsumme jedes Dreiecks nicht gleich 180°. Die Arbeiten von Lobatschewski und Bolyai blieben lange so unbeachtet, dass wahrscheinlich auch Riemann sie nicht kannte.

Eine wichtige Anregung für Riemann ging stattdessen von Gauß aus. Gauß leitete die Vermessung des Königreichs Hannover, was ihn auf die Idee brachte, eine eigene Flächentheorie zu entwickeln. Darin geht es unter anderem um gekrümmte Flächen, Krümmungsmaße, sowie darum, welche Kenngrößen invariant bleiben, wenn man eine Fläche ohne Dehnung und Stauchung verbiegt. Diese Flächentheorie hängt mit den Gedanken zu nicht-euklidischen Geometrien insofern zusammen, als die Winkelsummen von Dreiecken auf gekrümmten Flächen nicht mehr 180° betragen.

Flächen sind, wie man so sagt, zweidimensionale geometrische Gebilde. In seinem Habilitationsvortrag verallgemeinert Riemann dies auf beliebige Dimensionen. Riemann spricht nun nicht mehr von „Flächen“, sondern verwendet den allgemeiner gefassten Begriff der „Mannigfaltigkeiten“. Auf diese Weise begründet Riemann die Geometrie ganz anders als Euklid. Lobatschewski und Bolyai nahmen nur Veränderungen im klassischen Axiomensystem vor, blieben also eigentlich noch im euklidischen Rahmen, gewinnt Riemann einen völlig neuen und um vieles universelleren Zugang zur Geometrie.

Was bei Gauß eine gekrümmte Fläche war, heißt bei Riemann eine „2-dimenstionale Mannigfaltigkeit“, von denen die vollkommen ungekrümmte Ebene nur ein Sonderfall ist. Ebenso ist das, was man bislang „Raum“ nannte, bei Riemann nur noch ein Sonderfall einer 3-dimenstionalen Mannigfaltigkeit. Und so wie es unendlich viele, verschiedene gekrümmte Flächen gibt, sind auch mathematisch unendlich viele 3-dimenstionalen Mannigfaltigkeiten denkbar. Allerdings kann man sie sich anschaulich nicht vorstellen. Riemanns Theorie der n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ist ein gutes Beispiel dafür, wie die Mathematik im Laufe des 19. Jahrhunderts immer mehr die Anschauung hinter sich ließ. Umso wichtiger wurden, wie ich bereits oben ausführte, formal saubere Definitionen, die eine stringente Beweisführung erlaubten.

Riemanns Theorie der n-dimensionale Mannigfaltigkeiten ist besonders für den Fall n=3 philosophisch und physikalisch interessant, weil man so eine Fülle von denkbaren Alternativen zum herkömmlichen euklidischen Raum erhält. Allerdings sind diese Mannigfaltigkeiten, wie gesgt, anschaulich nicht vorstellbar. Am besten nähert man sich einem Verständnis, indem man sich die Dinge für n=2 überlegt und dann per Analogie auf den dreidimensionalen Fall überträgt.

Ich möchte an dieser in keine technischen Details gehen. Jedenfalls sind n-dimensionale Mannigfaltigkeiten für sich genommen noch nicht ausreichend, um eine Geometrie in annähernd gewohnter Weise zu betreiben. Dazu bedarf es noch der Möglichkeit, Längen von Strecken und Winkel zu messen. Bezogen auf eine gegebene Mannigfaltigkeit definiert Riemann also noch eine Maßstruktur. Später wird er dafür sogenannte quadratische, metrische Tensoren verwenden. Seine Forderung ist, dass die Maßstruktur so ist, dass sich die Mannigfaltigkeit im sehr Kleinen wie eine herkömmliche euklidische Struktur verhält. Im Kleinen sollen die Winkelsummen von Dreiecken also approximativ 180° betragen, nicht aber unbedingt im großen Maßstab.

Jede n-dimensionale Mannigfaltigkeit kann durch eine oder mehrere n-dimensionale „Karten“ darstellen, die sich möglicherweise überlappen. So wie man die Erdoberfläche durch mehrere, sich überschneidende, ebene Landkarten darstellen kann. Auf diese Weise werden bestimmten „Regionen“ der Mannigfaltigkeit Koordinaten zugeordnet. Ein wichtiger Teil von Riemanns neuer Theorie besteht darin, Invarianten herauszuarbeiten, die für eine gegebene Mannigfaltigkeit konstant bleiben, unabhängig davon, welche Kartensysteme man wählt. Eine dieser Invarianten ist der sog. Krümmungstensor, der eine Verallgemeinerung des Gaußschen Krümmungsmaßes für Flächen ist. Später konnte man zeigen, dass Mannigfaltigkeit mit konstanter negativer Krümmung Modelle für nichteuklidische Geometrien im Sinne von Lobatschewski und Bolyai sind.

Riemann definiert die Mannigfaltigkeiten genauso logisch-formal sauber, wie Cauchy den Begriff der Differenzierbarkeit. Nur auf dieser Basis ist eine Beweisführung in seiner Theorie möglich, da sie sich nicht auf Anschauung oder Intuition berufen kann. Gerade der Bezug zur materiellen Wirklichkeit wirft einige Fragen auf. Nach Riemann sind ja verschiedenste Geometrien denkbar, von denen die euklidische nur ein Sonderfall ist. Man kann hier also von einem Pluralismus von Theorien sprechen und die euklidische Geometrie kann nicht mehr als die einzig denkbare angesehen werden. Somit kann man sie auch nicht mehr, wie es die Naturwissenschaftler und Mathematiker vorher taten, als notwendig gültig bezeichnen. Damit stellt sich aber auch die Frage, welche der vielen möglichen Geometrien diejenige ist, die tatsächlich mit der empirischen Realität übereinstimmt.

Galilei, Descartes und Newton gingen selbstverständlich davon aus, dass der tatsächlich, empirisch wahrnehmbare Raum euklidisch ist. Es ist geradezu ein Merkmal der neuzeitlichen Physik, dass die euklidischen räumlichen Strukturen mit dem physischen Raum identifiziert werden. Die euklidische Geometrie ist zwar nur ein intellektuelles Konstrukt, aber sie galt lange Zeit als notwendig, und daher musste sie auch für die reale Welt gelten. Eine Alternative war nicht denkbar. Für Riemann waren nun aber sehr wohl Alternativen denkbar, sogar unendlich viele. Und damit stellt sich die Frage, welche Struktur der reale, physische Raum hat. Riemann sagt in seinem Vortrag:

„Hiervon aber ist eine notwendige Folge, dass die Sätze der Geometrie sich nicht aus allgemeinen Größenbegriffen ableiten lassen, sondern dass diejenigen Eigenschaften, durch welche sich der Raum von anderen denkbaren dreifach ausgedehnten Größen unterscheidet, nur aus der Erfahrung entnommen werden können. Hieraus entsteht die Aufgabe, die einfachsten Tatsachen aufzusuchen, aus denen sich die Maßverhältnisse des Raumes bestimmen lassen [….]“[5]

„Die Fragen über das Unermessbargroße sind für die Naturerklärung müßige Fragen. Anders verhält es sich aber mit den Fragen über das Unermessbarkleine. Auf der Genauigkeit, mit welcher wir die Erscheinungen ins Unendlichkleine verfolgen, beruht wesentlich die Erkenntnis ihres Kausalzusammenhangs. Die Fortschritte der letzten Jahrhunderte in der Erkenntnis der mechanischen Natur sind fast allein bedingt durch die Genauigkeit der Konstruktion, welche durch die Erfindung der Analysis des Unendlichen und die […] einfachen Grundbegriffe, deren sich die heutige Physik bedient, möglich geworden ist. In den Naturwissenschaften aber, wo die einfachen Grundbegriffe zu solchen Konstruktionen bis jetzt fehlen, verfolgt man, um den Kausalzusammenhang zu erkennen, die Erscheinungen ins räumlich Kleine, so weit es das Mikroskop nur gestattet. Die Fragen über die Maßverhältnisse des Raumes im Unmessbarkleinen gehören also nicht zu den müßigen.

Setzt man voraus, dass die Körper unabhängig vom Ort existieren, so ist das Krümmungsmaß überall konstant, und es folgt dann aus den astronomischen Messungen, dass es nicht von Null verschieden sein kann […]. Wenn aber eine solche Unabhängigkeit der Körper vom Ort nicht stattfindet, so kann man aus den Maßverhältnissen im Großen nicht auf die im Unendlichkleinen schließen; es kann dann in jedem Punkte das Krümmungsmaß in drei Richtungen einen beliebigen Wert haben, wenn nur die ganze Krümmung jedes messbaren Raumteils nicht merklich von Null verschieden ist; noch kompliziertere Verhältnisse können eintreten […]. Nun scheinen aber die empirischen Begriffe, in welchen die räumlichen Maßbestimmungen gegründet sind, der Begriff des festen Körpers und des Lichtstrahls, im Unendlichkleinen ihre Gültigkeit zu verlieren; es ist also sehr wohl denkbar, dass die Maßverhältnisse des Raumes im Unendlichkleinen den Voraussetzungen der Geometrie nicht gemäß sind, und dies würde man in der Tat annehmen müsse, sobald sich dadurch die Erscheinungen auf einfachere Weise erklären lassen.

Die Frage über die Gültigkeit der Voraussetzungen der Geometrie im Unendlichkleinen hängt zusammen mit der Frage nach dem innern Grunde der Maßverhältnisse des Raumes. […]

Die Entscheidung dieser Fragen kann nur gefunden werden, indem man von der bisherigen Erfahrung bewährten Auffassung der Erscheinungen, wozu Newton den Grund gelegt, ausgeht und diese durch Tatsachen, die sich aus ihr nicht erklären lassen, getrieben allmählich umarbeitet; solche Untersuchungen, welche, wie die hier geführte, von allgemeinen Begriffen ausgehen, können nur dazu dienen, dass diese Arbeit nicht durch die Beschränktheit der Begriffe gehindert […] wird.“[6]

Wenn es unendlich viele denkbare Geometrien gibt, dann ist die euklidische Geometrie nicht mehr notwendig und damit verliert sie ihren selbstverständlichen Bezug zur materiellen Wirklichkeit. Riemann äußert in seinem Vortrag den Gedanken, dass möglicherweise bestimmte physikalische Kräfte sog. Raumkrümmungen bewirken.

Ähnlich wie Jacobi in seinen Vorlesungen über analytische Mechanik (1847/48), der Riemann als Student beiwohnte, unterscheidet Riemann zwischen mathematisch formulierter Theorie und der empirischen Wirklichkeit. Für beide ist die denkbare mathematisch formulierte, naturwissenschaftliche Theorie nicht mehr eindeutig bestimmt. Vielmehr vertreten sie einen Theorien-Pluralismus. Die bisher alternativlose euklidische Geometrie kann dann aber nicht mehr notwendig sein. Wenn viele verschiedene Theorien bzw. vielen verschiedene Geometrien denkbar sind, dann hat diejenige, von der man ausgeht, immer den Charakter des Beliebigen, und somit auch des Hypothetischen. Beide, Jacobi wie Riemann, meinen deswegen auch folgerichtig, dass man mittels Experimenten überprüfen müsse, welche der möglichen Theorien bzw. Geometrien am ehesten der Wirklichkeit entsprechen.

Nachwirkung

In seinem Habilitationsvortrag von 1854 formuliert Riemann Ideen, die erstens eine neue mathematische Disziplin begründeten, zweitens Einstein später in der Relativitätstheorie verwenden wird. Wissenschaftsgeschichtlich ist der Vortrag deswegen wichtig, weil die nicht-euklidischen Geometrien erstmals in der breiten Öffentlichkeit als ernstzunehmendes Forschungsgebiet wahrgenommen wird. Außerdem war auch Gauß bei dem Vortrag anwesend und zeigte sich hinterher tief beeindruckt.

Und doch dauerte es noch etwa ein Jahrzehnt, bis sich die Mathematiker vermehrt an dieses heiße Eisen heranwagten. Ein wichtiges Thema dabei war der Nachweis der Widerspruchsfreiheit von nicht-euklidischen Geometrien. Dies gelang schließlich dem italienischen Mathematiker E. Beltrami (1835-1900), indem er ein zweidimensionales Modell für eine nicht-euklidische Geometrie fand.

Wissenschaftstheoretisch sind Riemanns Überlegung wichtig, weil er zeigt, dass es neben der allgemein bekannten, und als selbstverständlich wahr angenommenen, euklidischen Geometrie auch andere nicht-euklidische Geometrien denkbar sind. Somit ist die euklidische Geometrie nicht notwendig wahr. Eine Folge daraus ist, dass die euklidische Geometrie ihren bisher als selbstverständlich angenommenen Realitätsbezug verliert. Die Identifizierung von euklidischen räumlichen Strukturen mit der realen, materiellen Welt war ein fester Bestandteil der mathematisierten Naturauffassung und war eine der Grundlagen für die Entwicklung der neuzeitlichen Physik. Wenn Galilei sagte, dass das Buch der Natur in den Buchstaben der Geometrie geschrieben sei, dann meinte er selbstverständlich die euklidische Geometrie. Galilei konnte noch geometrisch argumentieren und glauben, damit ohne Weiteres etwas über die materielle Welt zu beweisen. Dieser Glaube war nun gebrochen.

[1] F.M. Brückler [4], S. 93.

[2] Becker [1], S. 174.

[3] Wußing [98], S. 147 f.

[4] Zitiert nach Wußing [98], S. 148.

[5] S. 272 f.

[6] S. 285 f.