Ich werde später noch etwas zur Entstehung der modernen Mathematik schreiben, die sich meiner Meinung nach in zwei wichtigen historischen Schritten vollzog. An dieser Stelle möchte ich vorab auf die Unterschiede zwischen antiker und moderner Mathematik eingehen.
Ich will ja zeigen, dass die antike Mathematik die Merkmale hat, die ich hier aufgelistet habe. Dazu gehört auch der Beweis durch Widerspruch. Nachfolgend noch ein Beispiel, das in Euklids Elementen unter VII 31 steht.
Zunächst könnte man vermuten, wie es ja auch die Pythagoreer taten, dass man für beliebige Strecken a und b eine Einheit e finden kann, so dass a= n x e und b= m x e. Wäre diese Vermutung richtig, dann stünden alle Größen zueinander in einem ganzzahligen Verhältnis.
Bekanntermaßen interessierten sich die Pythagoreer für ganzzahlige Verhältnisse wie beispielsweise 1:2 oder 3.4. Wenn Pythagoras sagte: „Alles ist Zahl“, so meinte er dabei wahrscheinlich, dass alles zueinander in solchen Zahlenverhältnissen steht.
Wenn die alten Griechen von Zahlen sprachen, dann verstanden sie darunter das, was heutige Mathematiker natürliche Zahlen nennen; also: 1, 2, 3, 4, …
Pythagoras (570-510 v.Chr.) stammte von der Insel Samos, die gegenüber von Milet liegt, wanderte aber nach Süditalien aus und gründete dort die philosophisch-religiöse Sekte der Pythagoreer. Diese Gruppierung war in Süditalien auch politisch sehr aktiv, wodurch sie aber immer wieder in kriegerische Auseinandersetzungen verwickelt wurden, bis sie sich etwa 350 v.Chr. auflösten.
Die abendländische Philosophiegeschichte lässt man gerne mit Thales von Milet (624-544 v.Chr.) beginnen. Er war aber auch Mathematiker. Allerdings ist von ihm selbst nichts Schriftliches erhalten.
Meiner Auffassung nach kann man die antike Mathematik wie folgt charakterisieren:
Rationales Begründen liegt dann vor, wenn auf die Frage „Warum?“ eine Antwort gegeben wird, die man als vernünftig, sinnvoll, einleuchtend, verständlich bezeichnen kann. Andernfalls ist sie sinnlos, unsinnig, nicht rational, unvernünftig.