Nicht-euklidische Geometrie bei Hermann Helmholtz (1868)

Hermann Helmholtz (1821-1894) war Mediziner, Physiologe und Physiker. 1839 begann er sein Medizinstudium in Berlin. Einer seiner Professoren war Johannes Müller, einer der bedeutendsten deutschen Physiologen des 19. Jahrhunderts.

1842 promovierte Helmholtz mit einer mikroskopischen Arbeit an Nervenbahnen. Als einer der ersten maß er die sog. Nervenleitgeschwindigkeit. Später war er maßgeblich daran beteiligt, die Dreifarbentheorie zu entwickeln. Der gemäß hat das menschliche Auge Lichtrezeptoren für die drei Grundfarben Blau, Rot und Gelb, woraus dann physiologisch das Sehen jeder Farbe durch Mischung ermöglicht wird. Nach dem Studium arbeite Helmholtz zunächst als /Unterarzt an der Charité und dann eine kurze Zeit als Militärarzt. Ab 1846 unterrichtete er Anatomie an der Berliner Kunstakademie. Danach lehrte er Physiologie zunächst in Berlin, dann in Königsberg, danach in Bonn und schließlich von 1858 bis 1870 in Heidelberg.

Parallel beschäftigte er sich mit physikalischen Fragen. 1847 veröffentlichte er eine wichtige Arbeit über den Energieerhaltungssatz. Er forschte ferner über Wirbel in Flüssigkeiten und zu elektrodynamischen Themen. Er versuchte Wetterphänomene wie Wirbelstürme und Gewitter mathematisch zu erfassen und gilt damit als einer der Begründer der Meteorologie. Sehr wichtige Forschungsarbeit lieferte er schließlich auf dem Gebiet der Elektrochemie. Im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts war er ein so einflussreicher Naturwissenschaftler, dass er – in Anspielung auf Bismarck – als „Reichskanzler der Physik“ bezeichnet wurde.

Für die Entwicklung des Wissenschaftsbegriffs im Laufe des 19. Jahrhunderts sind Helmholtz‘ öffentlichen Vorträge und populärwissenschaftlichen Schriften sehr interessant, da hier der Wandel seiner eigenen Wissenschaftsauffassung dokumentiert ist. Ich beziehe mich nachfolgend auf:

• Helmholtz, H. Philosophische und populärwissenschaftliche Schriften, Bd. 1 bis 3. Herausgegeben von Heidelberger, M./Pulte, H./Schiemann, G.

Nicht-euklidische Geometrie (1868)

Helmholtz untersuchte als Physiologe, wie das menschliche Auge den Raum wahrnimmt, und veröffentlichte das Handbuch der physiologischen Optik (1867). In diesem Zusammenhang beschäftigte er sich auch mit nicht-euklidischen Geometrie. 1868 veröffentlichte er einen Aufsatz mit dem Titel Ueber die Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, in offensichtlicher Anlehnung an Riemanns Habilitationsvortrag Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen von 1854. Ich selbst werde mich nachfolgend vor allem auf Helmholtz‘ Vortrag Ueber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome (kurz „Ursprung“) von 1879 beziehen.

Ein wichtiges Ergebnis von Riemann war, dass der tatsächliche physikalische Raum nicht notwendigerweise euklidisch sein muss. Darin stimmen beide Wissenschaftler überein. Helmholtz stellt am Anfang von Ursprung zwei Geometrien gegenüber (S. 608):

1. die ideale Geometrie, also die mathematische Wissenschaft, in der sich alles stringent aus den euklidischen Axiomen herleiten lässt;
2. die physische Geometrie der sinnlich erfahrbaren Wirklichkeit.

Helmholtz wundert sich darüber, wie man es über tausende von Jahren als selbstverständlich angenommen hat, dass diese beiden Geometrien übereinstimmen. Denn die eine ist ja eigentlich nur etwas bloß Gedachtes oder subjektiv Vorgestelltes, während die andere das faktisch Wahre ist. Es ist also von „erkenntnistheoretischem Interesse“ (S. 609), ob diese beiden Geometrien wirklich übereinstimmen und wie das möglich sein soll. Dies liegt auf derselben Linie, die auch Riemann vertritt.

Sie unterscheiden sich nur insofern, als Helmholtz‘ Ausgangspunkt für seine geometrischen Überlegungen die freie Beweglichkeit von festen Körpern ist. So sagt er (S. 611):

„Die Grundlage aller Beweise in der Euklid’schen Methode ist der Nachweis der Congruenz der betreffenden Linien, Winkel, ebenen Figuren, Körper u.s.w. Um die Congruenz anschaulich zu machen, stellt man sich vor, dass die betreffenden geometrischen Gebilde zu einander hinbewegt werden, natürlich ohne ihre Form und Dimensionen zu verändern. Dass dies in der That möglich und ausführbar sei, haben wir alle von frühester Jugend an erfahren.“

Nach Helmholtz ist es eine elementare Erfahrungstatsache, dass feste Körper ihre Gestalt nicht dadurch verändern, dass man sie im Raum dreht oder verschiebt. Und es spricht alles dafür, dass der tatsächliche, physische Raum generell so beschaffen ist, dass feste Körper darin frei beweglich sind.  Folgt daraus aber, dass der physische Raum euklidisch sein muss? Helmholtz verneint diese Frage, indem er auf die neuen Ergebnisse der Mathematik verweist. Demnach sind ohne weiteres nicht-euklidische Geometrien denkbar, bei denen auch die freie Beweglichkeit von festen Körpern gegeben ist. Das sog. Krümmungsmaß muss nur konstant sein.

Zunächst beginnt Helmholtz damit, unter anderem folgende Kernaussagen der euklidischen Geometrie zu nennen:

• Axiom der kürzesten Strecke: Zwischen zwei Punkten gibt es genau eine kürzeste Strecke, nämlich die gerade Linie zwischen beiden.
• Parallelenaxiom: Zu jeder Linie g und jedem Punkt P außerhalb dieser Linie gibt es genau eine Linie g‘, die zu g parallel ist und durch den Punkt P geht; oder äquivalent: Für jedes Dreieck beträgt die Winkelsumme 180°.

Helmholtz verweist hier auf Riemann. Danach ist es durchaus denkbar ist, dass wir in einem physischen Raum leben, der, wie man mathematisch sagt, gekrümmt ist. Und falls diese Krümmung konstant ist, dann sind alle festen Körper darin drehbar und verschiebbar, ohne dass sich ihre Gestalt ändert, dennoch aber würden die genannten Axiome nicht notwendigerweise gelten.  Nun versagt die menschliche Vorstellungskraft bei dem Versuch, sich dreidimensionale Raumkrümmungen vorzustellen. Um dies trotzdem zu veranschaulichen, wählt Helmholtz zweidimensionale Modelle, die man dann per Analogieschluss auf dreidimensionale Räume übertragen kann.

Dazu stellt er sich vernunftbegabe Lebewesen vor, wie wir es sind. Nur mit dem Unterschied, dass sie vollkommen flach sind und in einer zweidimensionalen Welt leben. Man könnte sie „Flachmenschen“ nennen. (S. 612). Drei Völker dieser Flachmenschen soll es geben. Das erste Volk lebt auf einer vollkommen ebenen, euklidischen Fläche, das zweite auf der Oberfläche einer Kugel und das dritte auf einer sog. pseudosphärischen Fläche mit konstanter Krümmung, so wie sie der italienische Mathematiker Beltrami ersonnen hat (ohne dass ich an dieser Stelle näher darauf eingehe).

In allen drei Welten können die Flachmenschen zweidimensionale Gebilde verschieben oder verdrehen, ohne dass sich deren Gestalt ändert. Würden sich diese drei Völker aber Geometrien ersinnen, dann wären das höchstwahrscheinlich drei verschiedene Wissenschaften. Das erste Volk, das auf einer flachen Ebene lebt, hätte eine Planimetrie, wie sie Teil der euklidischen Geometrie ist. Für das zweite Volk, das auf einer Kugeloberfläche lebt, wäre es selbstverständlich, dass sich alle Geraden irgendwann einmal schneiden, und dass die Winkelsummen von Dreiecken größer 180° ist. Die Flachmenschen schließlich, die auf einer pseudosphärischen Oberfläche leben, hätten eine Geometrie, bei der eine Gerade unendlich viele Parallelen haben kann und die Winkelsumme von Dreiecken immer kleiner 180° ist. Nach Helmholtz zeigen diese Beispiele (S 614), „dass, je nach der Art des Wohnraums, verschiedene geometrische Axiome aufgestellt werden müssten […].“

Denkbar ist aber auch, dass die Kugel, auf dem das zweite Volk lebt, derartig groß ist, dass die Flachmenschen den Eindruck haben, auf einer ebenen Fläche zu leben. Sie würden dann eine euklidische Geometrie entwickeln, die im Kleinen annähernd die richtigen Ergebnisse liefert. Sie würden glauben, dass es zu jeder Geraden genau eine Parallele gibt. Faktisch wäre es aber anders.

Ähnlich könnte es sein, dass wir dreidimensionale Wesen die euklidische Geometrie für die einzig richtige halten. Hätten wir aber die Möglichkeit eine ganz gerade Linie über eine sehr, sehr weite Strecke verfolgen zu können, würden wir merken, dass sie irgendwann – als würde sie einen Kreis beschreiben – wieder zu ihrem Ausgangspunkt zurückkeht. Oder wenn wir Dreiecke über sehr große Entfernungen ausmessen könnten, wir feststellen könnten, dass ihre Winkelsumme von 180° verschieden ist (siehe S. 627, S. 870, 877).

Helmholtz wendet sich gegen die These Kants, die Welt der Erscheinungen müsse deswegen alle Merkmale der euklidischen Räumlichkeit aufweisen, weil diese die subjektive Voraussetzung dafür ist, dass wir überhaupt etwas erfahren. Kant bezeichnet den (euklidischen) Raum als reine Anschauungsform. Dies widerlegt Helmholtz durch folgende Gedankenexperimente. Man kann annehmen, die subjektive Weise, wie eine Person A die Welt sieht, wäre nicht-euklidisch. Dann würde A die Dinge beispielsweise so sehen, wie wir es mithilfe eines Konvexspiegels tun, nämlich merkwürdig verzerrt. Vor allem aber würden sich die Verzerrungen für A verändern, wenn er die Position zu den Dingen verändert. Da er andererseits, z.B. durch haptische Überprüfung merkt, dass sich die Dinge faktisch nicht verändern, würde A begreifen, dass seine Weise die Dinge zu sehen nicht mit der Wirklichkeit übereinstimmt. Es ist aber nicht so, wie Kant suggeriert, dass die subjektive Räumlichkeit notwendigerweise mit der objektiven Räumlichkeit übereinstimmen muss. Vielmehr könnte eine Nicht-Übereinstimmung durchaus erkennbar sein, wie dieses Beispiel zeigt, und man würde in diesem Fall die subjektive Räumlichkeit als bloßen, falschen Schein abtun. Möglicherweise würde sich das Gehirn sogar mit der Zeit an diese Verzerrungen anpassen und sie irgendwann automatisch korrigieren, so wie es Brillenträger erleben, wenn sie eine neue ungewohnte Brille bekommen. Was zählt ist jedenfalls nicht die subjektive Anschauungsweise, sondern die objektive Räumlichkeit.

An diesem Beispiel sieht man aber auch, dass es eine Raumwahrnehmung nur gibt anhand von wahrgenommenen Körpern. Genau genommen beruht sie auf der Messung von Größen, von Längen und Winkeln an den Dingen (S. 633). Welche Beschaffenheit der Raum hat, erkenne ich daran, wie sich die Längen und Winkel an den Körpern verändern, einfach nur indem ich meine Position zu ihnen wechsle. Dementsprechend behauptet Helmholtz, dass es eine körperfreie „reine Anschauung“ des Raumes gar nicht geben kann.

Natürlich kann man mit dem bloßen Auge Verzerrungen im Konvexspiegel erkennen. Um geometrische Größen aber präzise zu messen, benötigt man materielle Hilfsmittel: einen Meterstab aus Holz, einen Zirkel aus Metall oder einen Lichtstrahl (S. 633 f.). Helmholtz stellt fest, dass wir das nur können unter der Voraussetzung, dass diese materiellen Hilfsmittel bestimmte Eigenschaften besitzen. So können wir einen Meterstab oder einen Zirkel nur deswegen zur Messung verwenden, weil wir von deren Festigkeit ausgehen, d.h. dass sie ihre Form nicht verändern, alleine durch Drehungen und Verschiebungen im Raum. Und beim Lichtstrahl setzen wir voraus, dass er sich in einer vollkommenen Gerade ausbreitet. Woher wissen wir aber, ob Licht in der Realität nicht geringe, kaum erkennbare Kurven macht? Mit diesen Gedanken nimmt Helmholtz Ideen der Relativitätstheorie vorweg.

Helmholtz‘ Gedanken zu Raum und Geometrie möchte ich wie folgt zusammenfassen:

Es gibt einerseits den tatsächlichen, physikalischen Raum, andererseits unsere subjektiven Raumvorstellungen, die wir im Laufe unseres Lebens empirisch-induktiv im Umgang mit den Dingen gewinnen. Je nachdem, welche räumlichen Eigenschaften unsere Lebenswelt hat, bilden wir eine bestimmte Geometrie aus. Das kann aber niemals ohne Interaktion mit den realen Dingen geschehen. Deswegen ist Kants Behauptung, der Raum sei eine reine Anschauungsform, abzulehnen. Es ist auch abzulehnen, dass die räumliche Anschauung notwendig euklidisch sein müsse. Das Gedankenexperiment mit den Flachmenschen, die auf sphärischen oder pseudosphärischen Oberflächen leben, zeigt, dass auch andere nicht-euklidische Geometrien denkbar sind. Die euklidische Geometrie scheint uns nur deswegen notwendig zu sein, weil sie in unserer Lebenswelt offenbar gut mit der realen, physischen Geometrie übereinstimmt. Das Gefühl, dass die euklidische Geometrie notwendig gilt, ist vergleichbar mit dem Gefühl der Menschen in der Antike und im Mittelalter, dass schwere Dinge notwendigerweise nach unten streben. Wir kennen sowieso nur den menschlich-kleinen Bereich. Es könnte immer noch sein, dass die euklidische Geometrie im sehr, sehr großen Maßstab nicht gilt. Würde man das aber tatsächlich feststellen, dann würden wir unsere subjektive Raumwahrnehmung als falschen Schein bezeichnen. Und es kann keine Rede davon sein, dass unsere subjektive Geometrie die Voraussetzung dafür ist, wie uns die reale, physische Räumlichkeit erscheint.