Primzahlen

Ich will ja zeigen, dass die antike Mathematik die Merkmale hat, die ich hier aufgelistet habe. Dazu gehört auch der Beweis durch Widerspruch. Nachfolgend noch ein Beispiel, das in Euklids Elementen unter VII 31 steht.

Definition: Eine Vielfache ist die größere Zahl zu einer kleineren, wenn sie in die kleinere genau aufgeteilt werden kann.

Satz VII 31: Primzahlen sind teilerfremd zu den Zahlen, die nicht ihre Vielfache sind.

Beweis durch Widerspruch [von mir leicht abgewandelt]: Wenn eine Zahl B nicht Vielfache einer Primzahl A ist, dann, sage ich, sind A und B teilerfremd, d.h. sie haben keinen gemeinsamen von der Eins verschiedenen Teiler.

Denn nehmen wir das Gegenteil an, dass die Primzahl A und B nicht teilerfremd sind, dann haben sie einen gemeinsamen Teiler, der ungleich Eins ist; dieser sei C. Da C Teiler von B ist, und die Primzahl A nicht Teiler von B ist, kann C nicht gleich A sein. Gemäß der getroffenen Annahme ist C Teiler von A und B, also auch von A. Da A Primzahl ist und damit nur durch sich selbst teilbar ist, C aber von A verschieden ist, haben wir einen Widerspruch zur obigen Annahme. Also muss die Annahme falsch sein, womit der Satz bewiesen ist.