Die imaginären Zahlen oder Cardanos spielerisches Annahme

Bis ins 19. Jahrhunderts verstand man unter Zahlen das, was man heute die natürlichen Zahlen  nennt, also die Zahlen 1, 2, 3, … Ihnen liegt die alltägliche Praxis des Zählens zugrunde.

Das, was wir heute als die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) bezeichnen, verstand man früher geometrisch als „Größen“, d.h. beispielsweise als Längen von Strecken oder Umfängen von Kreisen etc. Prinzipiell unterschied man zwischen „arithmetischen“ Zahlen und „geometrischen“ Größen. Beides konnte man in der realen Welt finden. Die natürlichen Zahlen durch das Abzählen von Dingen, die Größen an geometrischen Gebilden.

Eine einheitliche Sicht auf Zahlen und Größen gleichermaßen vermitteln quadratische und kubische Gleichungen. Denn z.B. die Gleichung x³ – 8 = 0 wird eindeutig durch die natürliche Zahl 2 gelöst, und die Gleichung x³ – 2 = 0 wird durch die dritte Wurzel von 2 gelöst, was keine natürliche Zahl ist.

Die Mathematiker des 16. Jahrhunderts beschäftigten sich ausgiebig mit der Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen. Interessant war vor allem die Frage, welche Gleichungen überhaupt Lösungen haben und welche nicht. Und nach damaligem Verständnis musste eine Lösung entweder eine natürliche oder eine reelle Zahl sein. Nur das waren Zahlen, die man in der materiellen Welt finden konnte, und die man somit in gewisser Weise für „real“ halten konnte.

Was ist aber mit der Gleichung x² + 1 = 0? Hier gibt es offenbar keine Lösung durch eine reelle oder eine natürliche Zahl. Denn keine dieser Zahlen ergibt mit sich selbst multipliziert -1. Nun kam der italienische Mathematiker Geralomo Cardano (1501-1576) auf die Idee, einfach hypothetisch eine Zahl i anzunehmen, für die i² = -1 gilt. Wohlgemerkt, er behauptete nicht, dass es solch eine Zahl wirklich gibt. Er meinte nur, dass man einfach sozusagen spielerisch so tun könnte, als gäbe es sie, und zusehen, was sich daraus ergibt. So wurden die sogenannten komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) erfunden.

Interessanterweise merkten die Mathematiker schnell, dass sich doch einiges aus diesen neuen Zahlen ergab. Raffael Bombelli fand mit ihrer Hilfe reelle Lösungen für bestimmte kubische Gleichungen, die mit den herkömmlichen Methoden nicht lösbar waren. Auch in anderen Bereichen der Mathematik halfen solche „Umwege“ über die komplexen Zahle, einige mathematische Probleme zu lösen oder Beweise deutlich zu vereinfachen.

1748 veröffentlichte Euler seine berühmte Formel, die die komplexen Zahlen in Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen setzt:

\(e^{i\phi}=cos(\phi ) + i \cdot sin(\phi )\)

Diese Formel wird in der Physik vielfach verwendet, und zwar immer, wenn es um Wellen und Periodizität geht, also z.B. in der Optik oder in der Elektrodynamik. Eine Schlussfolgerung hieraus ist auch die sog. Eulersche Identität, die als schönste Formel der Mathematik gilt[1]:

\(e^{i\pi}+1=0\)

Das war eine durchaus bemerkenswerte Situation. Die Mathematiker wurden aufgrund ihrer formalen Gleichungen zu den komplexen Zahlen geführt. Sie konnten sich aber nicht vorstellen, was diese neuen Zahlen tatsächlich sein sollten. Deswegen nannte sie Descartes auch „imaginär“, um sie von den „realen“ Zahlen zu unterscheiden. Und dennoch konnte man hervorragend und mathematisch stringent mit ihnen arbeiten.

Caspar Wessel (1797) und Gauß (1811) fanden schließlich eine geometrische Interpretation für die komplexen Zahlen, nämlich als zweidimensionale Zahlenebene. Jede Rechenoperation für komplexe Zahlen kann man danach geometrisch verstehen, nämlich als Vektoraddition oder als Drehung in der Ebene. Auf diese Weise bringt man schließlich doch die komplexen Zahlen mit der „realen“ Welt in Verbindung.

Ich erwähne hier die Geschichte der komplexen Zahlen, weil sie ein paar der oben genannten Entwicklungstendenzen der Mathematik im 19. Jahrhundert bereits ansatzweise vorwegnehmen. (1) Die bisherige Mathematik geht hier über die Grenzen einer Wissenschaft von den quantitativen Eigenschaften der Dinge hinaus, da die Realitätsbezogenheit der komplexen Zahlen lange Zeit fraglich war. (2) Sie sind entstanden durch das Bedürfnis, den formalen Kalkül, quadratische Gleichungen zu lösen. Und die imaginäre Zahl i ist formal sauber als die Wurzel von -1 definiert. (3) Man konnte sich zwar lange nichts darunter vorstellen, aber aus einer spielerischen Laune Cardanos heraus erschlossen sich ganz neue, bislang undenkbare mathematische Theorien.

Damit geben die komplexen Zahlen einen Vorgeschmack auf die neue Mathematik, die im Laufe des 19. Jahrhunderts entstehen wird, wobei die Grundlagenkrise der Analysis Anfang des 19. Jahrhunderts eine wichtige Rolle spielen wird.

[1] Siehe auch Kevin Devlin: Dr. Euler’s Fabulous Formula: Cures many Mathematical Ills.

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